Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：（n∈N₊，e）为自然对数的底数）

Answer 1

（1）解：f′（x）=+a，
∵x=0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）=0，
∴a=0
∵x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合条件…（3分）
（2）解：f′（x）=+a=．…（4分）
①若a=0时，由（1）知，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②若，即当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…（6分）
③若当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0，∴＜x＜．
再令f'（x）＜0可得x＞或x＜．
∴f（x）在（，）上单调递增，在（-∞，），（，+∞）上单调递减．…（9分）
（3）证明：由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，∴ln（1+x²）＜x
∴
∴．…（14分）
分析：（1）先求导函数，根据x=0是f（x）的一个极值点，可得f'（0）=0，从而可求a的值；
（2）先求导函数，再对a进行讨论，利用f'（x）＞0得函数的单调递增区间，f'（x）＜0得函数的单调递减区间；
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，进而可证得结论．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数研究极值问题，考查函数的单调性，同时考查分类讨论的数学思想．