Question

先将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移

π

4

个长度单位，再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的

1

2

，得到函数g（x）的图象．则g（x）的一个增区间可能是（　　）

• A．（-π，0）
• B．(0，

  π

  2

  )
• C．(

  π

  2

  ，π)
• D．(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )

Answer 1

分析：根据函数图象平移公式和三角变换公式，可得g（x）=

1

2

cos4x，再用余弦函数单调区间的结论即可得到本题答案．

解答：解：∵f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）的图象向左平移

π

4

个长度单位，可得y=f（x+

π

4

）=

1

2

sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x
再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的

1

2

，可得
g（x）=

1

2

cos4x
令-π+2kπ≤4x≤2kπ（k∈Z），可得x∈（-

π

4

+

1

2

kπ，

1

2

kπ）（k∈Z），
由此可得g（x）的增区间为（-

π

4

+

1

2

kπ，

1

2

kπ）（k∈Z），
再取k=1，得（

π

4

，

π

2

），因此D项符合题意
故选：D

点评：本题将三角函数式化简，图象平移、伸缩后求它的单调区间，着重考查了函数图象平移公式和三角变换公式、余弦函数的单调性等知识，属于基础题．