Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E为PD中点．

（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：记BD∩AC=O，连结OE．

∵四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∴O为BD中点．

又∵E为PD中点，∴EO∥PB

又∵PB平面ACE，EO平面ACE，

故PB∥平面ACE

（2）解：如图，取AD的中点F，过F作FG⊥AC，垂足为点G，

连接EG，则∠EGF为二面角E﹣AC﹣D的平面角，

在Rt△∠EFG中， ，故 ，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为 ．

【解析】（1）记BD∩AC=O，连结OE，推导出EO∥PB，由经能证明PB∥平面ACE．（2）取AD的中点F，过F作FG⊥AC，垂足为点G，连接EG，则∠EGF为二面角E﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣AC﹣D的正切值．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．