Question

19．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据（单位：万元）：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）求y关于x的线性回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为10万元时销售收入y的值．
（附：对于线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）利用线性回归方程计算x=10时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（20+40+60+50+70）=50，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=2²+4²+5²+6²+8²=145，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=2×20+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，
所以$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1380-5×5×50}{145-5{×5}^{2}}$=6.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=50-6.5×5=17.5，
所以回归直线方程为$\widehat{y}$=6.5x+17.5；…（8分）
（2）x=10时，利用线性回归方程计算$\widehat{y}$=10×6.5+17.5=82.5；
所以估计广告费用为10万元时销售收入为82.5万元…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的计算问题，是基础题．