Question

10．已知函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1，a∈R．
（1）当a=1时，证明：xf（x）≥0；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1的导数，讨论当x≥0时，x≤0时，f（x）的单调性，结合指数函数的单调性，即可得证；
（2）求出函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1的导数，计算f（0）=0，讨论当a≤0时，由x≥0时，x≤0，根据单调性，即可判断；再讨论a=1，0＜a＜1，a＞1，判断单调性，可得存在f（x）＜0的情况，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=x•e^x-x=x（e^x-1），
当x≥0时，e^x≥1，即有f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）≥f（0）=0，
当x≤0时，e^x≤1，即有f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）≤f（0）=0，
则xf（x）≥0成立；
（2）函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1，
导数为f′（x）=x•e^x-ax=x（e^x-a），
由于f（0）=0，
当a≤0时，e^x-a＞0，
若x≥0，则f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，则f′（x）＜0，f（x）递减，f（x）＞f（0）=0，
则a≤0时，满足f（x）≥0；
当a＞0时，a=1时，若x≥0，则f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）＜f（0）=0；
当0＜a＜1时，若x≥0，则f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）＜f（0）=0；
a＞1时，x＜0，或x＞lna，f′（x）＞0，f（x）递增，存在f（x）＜f（0）=0，
综上可得，a＞0不成立，a≤0时，f（x）≥0恒成立．
则a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及指数函数的单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．