Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=2，在区间（1，4）上任取一个数为|$\overrightarrow{b}$|，则（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$＜0的概率为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 首先求出（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$＜0的|$\overrightarrow{b}$|的范围，然后利用区间长度比求概率．

解答 解：由已知，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=2，所以（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$＜0即2×${\overrightarrow{a}}^{2}-3|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°$＜0，所以|$\overrightarrow{b}$|$＞\frac{8}{3}$，
所以在区间（1，4）上任取一个数为|$\overrightarrow{b}$|，则（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$＜0的概率为：$\frac{4-\frac{8}{3}}{4-1}=\frac{\frac{4}{3}}{3}=\frac{4}{9}$；
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；求出|$\overrightarrow{b}$|的范围，利用区间长度比求概率．