Question

2．已知c＞0且c≠1，命题p：指数函数y=（2c-1）x在R上为减函数，q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 当p为真命题时，函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，推导出$\frac{1}{2}$＜c＜1；当q为真命题时，不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，推导出c＞$\frac{5}{8}$．由题设，若p和q有且只有一个为真命题，由此能求出c的取值范围．

解答 解：当p为真命题时，函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，
所以0＜2c-1＜1，所以$\frac{1}{2}$＜c＜1；
当q为真命题时，不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，
所以当x∈R时，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
所以△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，所以-8c+5＜0，所以c＞$\frac{5}{8}$．
由题设，若p和q有且只有一个为真命题，则
①当p真，q假时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜c＜1}\\{c≤\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，所以$\frac{1}{2}$＜c≤$\frac{5}{8}$；
②当p假，q真时，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a\frac{1}{2}或x＞1}\\{c＞\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，所以c＞1．
综上所述，c的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查实数值的求法，考查指数函数、不等式、复合命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．