Question

15．已知函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线$x=-\frac{π}{8}$对称．
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的x∈[0，$\frac{π}{4}$]．使得m[f（x）+8]+2=0有解，求实数m的取值范囤：
（3）若x∈（0，$\frac{5π}{8}$）时，关于x的方程f²（x）-2nf（x）+1=0有四个不等式的实根．求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式化简，结合题意可得|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，求解即可得到a值；
（2）把m[f（x）+8]+2=0化为：m[$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+8]+2=0．讨论m=0和m≠0，分离参数m，得$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+8=-$\frac{2}{m}$．由x的范围求得sin（2x-$\frac{π}{4}$）的范围，转化为关于m的不等式求解；
（3）由x的范围求出f（x）的范围，令t=f（x），则关于x的方程f²（x）-2nf（x）+1=0有四个不等实根等价于关于t的方程t²-2nt+1=0在t∈（0，$\sqrt{2}$）上有两个不等实根．然后结合一元二次方程根的分布转化为关于n的不等式组求解．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+acos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ）（tanθ=a）．
∵图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称，
∴|f（-$\frac{π}{8}$）|=|-sin$\frac{π}{4}$+a•cos$\frac{π}{4}$|=|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
两边平方得，（a+1）²=0，即a=-1；
（2）m[f（x）+8]+2=0可化为：m[$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+8]+2=0．
当m=0时，等式不成立；
当m≠0时，化为$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+8=-$\frac{2}{m}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+8∈[7，9]．
即7≤-$\frac{2}{m}$≤9，解得-$\frac{2}{7}$≤m≤-$\frac{2}{9}$；
（3）当x∈（0，$\frac{5π}{8}$）时，f（x））=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$）．
令t=f（x），则关于x的方程f²（x）-2nf（x）+1=0有四个不等实根，
等价于关于t的方程t²-2nt+1=0在t∈（0，$\sqrt{2}$）上有两个不等实根．
令h（t）=t²-2nt+1，由一元二次方程根的分布得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4{n}^{2}-4＞0}\\{0＜n＜\sqrt{2}}\\{h（0）=1＞0}\\{h（\sqrt{2}）=2-2\sqrt{2}n+1＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜n＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查一元二次方程根的分布应用，是中档题．