Question

（2012•昌平区一模）设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数①f（x）=-5x，②f（x）=sin²x，③f(x)=(

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)x，④f（x）=xcosx中，属于有界泛函的有

①②④

（填上所有正确的序号）．

Answer 1

分析：根据函数的单调性分别求出各个函数的最值，如①②④三个函数有最大值故存在这样的M对一切实数x均成立，③这个函数没有最值，不满足条件．

解答：解：①|f（x）|=|-5x|=5|x|，存在这样的M=5，对一切实数x均成立，故①是有界泛函；
②|f（x）|=|sin²x|≤1，不妨取M=2，则|f（x）|≤2对定义域内的一切实数x都成立，故②是有界泛函；
③|f（x）|=|（

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）^x||≤M|x|，不存在这样的M，对一切实数x均成立，故③不是有界泛函；
④|f（x）|=|xcosx|≤M|x|，即|cosx|≤M，当M≥1时，f（x）=xcosx是有界泛函．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了函数的概念及其构成要素，以及函数恒成立问题等知识，属于基础题．