Question

【题目】如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通.已知，，公路两侧排水管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排水管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为.

（Ⅰ）求矩形区域内的排水管费用关于的函数关系；

（Ⅱ）求排水管的最小费用及相应的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）最小费用为万元，相应的角为.

【解析】

（Ⅰ）过作,垂足为,由题意得,利用三角函数的定义分别表示,的长度,进而求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,设,要求的最小值,可先求的最大值,利用导函数求得的最大值,进而求解.

解:（Ⅰ）如图,

过作,垂足为,由题意得,

故有,,,

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）设,

则,

令,得,即,得,

∴当时,,为增函数；

当时,,为减函数,

∴当时,有,此时.

答:排管的最小费用为万元,相应的角为.