【题目】已知圆的圆心为
,直线l过点
且与x轴不重合,l交圆
于C,D两点,过
作
的平行线,交
于点E.设点E的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)直线与
相切于点M,
与两坐标轴的交点为A与B,直线
经过点M且与
垂直,
与
的另一个交点为N,当
取得最小值时,求
的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据三角形相似得到,得到AE+DE=4,再利用椭圆定义求解即可
(2)设的方程为
,与椭圆联立,由直线
与
相切得
,由
在x轴、y轴上的截距分别为
,m,得
表达式,结合基本不等式求得
坐标及
,进而得
,则面积可求
(1)因为,所以
.
又,所以
,则
,
所以,从而
.
化为
,
所以,
从而E的轨迹为以,
为焦点,长轴长为
的椭圆(剔除左、右顶点).
所以的方程为
.
(2)易知的斜率存在,所以可设
的方程为
,
联立消去y,得
.
因为直线l与相切,所以
,
即.
在x轴、y轴上的截距分别为
,m,
则
,
当且仅当,即
时取等号.
所以当时,
取得最小值,此时
,
根据对称性.不妨取,
,此时
,
即,从而
.
联立消去y,得
,
则,解得
,
所以,故
的面积为
.
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【题目】定义:若函数的图象经过变换
后所得的图象对应的函数与
的值域相同,则称变换
是
的同值变换,下面给出了四个函数与对应的变换:①
,
将函数
的图象关于直线
作对称变换;②
,
将函数
的图象关于
轴作对称变换;③
,
将函数
的图象关于点
作对称变换;④
,
将函数
的图象关于点
作对称变换.其中
是
的同值变换的有__________(写出所有符合题意的序号)
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【题目】如图,一个角形海湾(常数
为锐角).拟用长度为
(
为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:方案一:如图1,围成扇形养殖区
,其中
;方案二:如图2,围成三角形养殖区
,其中
.
(1)求方案一中养殖区的面积;
(2)求方案二中养殖区的最大面积(用表示);
(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2,且过点
和
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求△ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.
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【题目】已知定义域为的函数
满足:(1)对任意
,恒有
成立;(2)当
时,
.给出如下结论:
①对任意,有
;
②函数的值域为
③存在,使得
;
④“函数在区间
上单调递减”的充要条件是“存在
,使得
”.
上述结论正确有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)若是直线
上的一点,
是曲线C上的一点,求
的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣a.
(1)当a=1时,解不等式f(x)>x+1;
(2)若存在实数x,使得f(x)f(x+1),求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1.
(1)求证:AD⊥平面BFED;
(2)点P在线段EF上运动,设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ,试求θ的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左顶点为
,右焦点为
,
,
为椭圆
上两点,圆
.
(1)若轴,且满足直线
与圆
相切,求圆
的方程;
(2)若圆的半径为2,点
,
满足
,求直线
被圆
截得弦长的最大值.
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