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设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2
(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.
(1) a1. a2 
(2)猜想Sn,n=1,2,3,….
(1)先令n=1,则s1-1即a1-1是方程的一个根,因而建立关于a1的方程求出a1的值.同理再利用n=2时,求出a2.
(2)由条件可知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,化简得S-2Sn+1-anSn=0,
然后利用n≥2时,an=Sn-Sn-1,把an代入上式,消去an,就找到了sn与sn-1之间的递推关系,求出s1,s2,s3,然后观察规律,归纳出sn,再利用数学归纳法证明即可
(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1. 当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2, 于是(a2)2-a2(a2)-a2=0,解得a2 
(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,S-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①由(1)得S1=a1,S2=a1+a2.
由①可得S3.由此猜想Sn,n=1,2,3,….
下面用数学归纳法证明这个结论.
(i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk,当n=k+1时,由①得Sk+1,即Sk+1,故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立.
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