Question

如图，在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，AB=2，AA₁=

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，A₁B⊥AC，且A₁B=2

3

，D是AC的中点．
（1）求证：A₁C=A₁A；
（2）求二面角A₁-AC-B的度数．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AC⊥BD，A₁B⊥AC，从而AC⊥平面A₁BD，进而AC⊥A₁D，由此能证明A₁C=A₁A．
（2）由已知∠A₁DB是二面角A₁-AC-B的平面角，结合已知条件利用勾股定理能推导出A₁D⊥BD，由此求出二面角A₁-AC-B的平面角为90°．

解答： （1）证明：在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，
∵△ABC为等边三角形，D是AC的中点，
∴AC⊥BD，
又∵A₁B⊥AC，A₁B∩BD=B，
∴AC⊥平面A₁BD，
∵A₁D?平面A₁BD，∴AC⊥A₁D，
∵D是AC的中点，∴A₁C=A₁A．
（2）解：∵A₁C=A₁A，△ABC为等边三角形，D是AC的中点，
∴A₁D⊥AC，BD⊥AC，
∴∠A₁DB是二面角A₁-AC-B的平面角，
∵△ABC为等边三角形，AB=2，AA₁=

10

，
A₁B⊥AC，且A₁B=2

3

，D是AC的中点．
∴A1D2=AA12-AD2=10-1=9，
BD²=AB²-AD²=4-1=3，A1B2=12，
∴A1D2+BD2=A1B2，∴A₁D⊥BD，
∴二面角A₁-AC-B的平面角为90°．

点评：本题考查两线段相等的证明，考查二面角的平面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．