【题目】如果存在非零常数,对于函数
定义域上的任意
,都有
成立,那么称函数为“
函数”.
(Ⅰ)若,
,试判断函数
和
是否是“
函数”?若是,请证明:若不是,主说明理由:
(Ⅱ)求证:若是单调函数,则它是“
函数”;
(Ⅲ)若函数是“
函数”,求实数
满足的条件.
【答案】(Ⅰ)是“
函数”,
不是“
函数”.理由见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据定义,代入解析式解不等式,分析是否存在C使得不等式恒成立,即可判断是否是“函数”.
(Ⅱ)讨论函数单调递增与单调递减两种情况,结合函数单调的性质即可证明
是 “
函数”;
(Ⅲ)根据题意可知为单调函数.代入
后变形,可得关于
的一元二次不等式,结合二次函数恒成立的解法,即可求得
的取值范围.
(Ⅰ)是“
函数”,
不是“
函数”.理由如下:
若是“
函数”
则满足
即,所以
解得,
即存在使
是“
函数”
若是“
函数”
则满足
即,化简得
当时,
不能恒成立
当时,
不能恒成立,
综上可知,不是“
函数”
(Ⅱ)证明:因为是单调函数,则为单调递增函数或单调递减函数.
若是单调递增函数,则当
时,都有
成立,函数
为“
函数”
若是单调递减函数,则当
时,都有
成立,函数
为“
函数”
综上可知,当为单调函数时,则它是“
函数”
(Ⅲ)若函数是“
函数”,
由,
则
化简可得恒成立
由二次函数性质可知满足
解得
所以或
即时,总存在C满足函数
是“
函数”
所以满足的条件为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】新高考改革后,假设某命题省份只统一考试数学和语文,英语学科改为参加等级考试,每年考两次,分别放在每个学年的上下学期,其余六科政治,历史,地理,物理,化学,生物则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩,参加大学相关院校的录取.
(1)若英语等级考试有一次为优,即可达到某“双一流”院校的录取要求.假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的,且该生英语等级考试成绩为优的概率为,求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率;
(2)据预测,要想报考某“双一流”院校,省会考的六科成绩都在95分以上,才有可能被该校录取.假设某考生在省会考六科的成绩,考到95分以上的概率都是,设该考生在省会考时考到95以上的科目数为
,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元,年维修费用第一年是
万元,第二年是
万元,第三年是
万元,…,以后逐年递增
万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用
年的维修费用的和为
,年平均费用为
.
(1)求出函数,
的解析式;
(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥中,
平面ABCD,底面ABCD是正方形,
,E为PC上一点,当F为DC的中点时,EF平行于平面PAD.
(Ⅰ)求证:平面PCB;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2015年我国将加快阶梯水价推行,原则是“保基本、建机制、促节约”,其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变.为响应国家政策,制定合理的阶梯用水价格,某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研,抽取的数据的茎叶图如下(单位:吨):
(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户,求其年人均用水量都不超过30吨的概率;
(2)设该城市郊区和城区的居民户数比为,现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户,并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变.试根据样本估计总体的思想,分析此方案是否符合国家“保基本”政策.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数的定义域为
,对于区间
,若
满足
,则称区间
为函数
的
区间.
(1)证明:区间是函数
的
区间;
(2)若区间是函数
的
区间,求实数
的取值范围;
(3)已知函数在区间
上的图象连续不断,且在
上仅有
个零点,证明:区间
不是函数
的
区间.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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