【题目】设函数的定义域为
,对于区间
,若
满足
,则称区间
为函数
的
区间.
(1)证明:区间是函数
的
区间;
(2)若区间是函数
的
区间,求实数
的取值范围;
(3)已知函数在区间
上的图象连续不断,且在
上仅有
个零点,证明:区间
不是函数
的
区间.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)根据题中定义代入验证即可证出;
(2)根据题中的新定义可得,由
在
上单调递减,可得
,只需
即可求解.
(3)利用零点存在定理可得函数在
上至少存在两个零点,由题意可得函数
在
上不存在零点,由
,可得
,
,从而可得
,结合定义即可求解.
(1)设,若
,则
所以,
,
取,满足定义
所以区间是函数
的
区间,
(2)因为区间是函数
的
区间,
所以使得
,
因为在
上单调递减,
所以,
所以,
,
,
故所求实数的取值范围为
,
(3)因为,
所以在
上存在零点,
又因为,
所以函数在
上至少存在两个零点.
因为函数在区间
上仅有
个零点.
所以在
上不存在零点.
又因为,所以
,
,
所以,
,
即因此不存在满足
,
所以区间不是函数
的
区间.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,直线
与函数
的图象在
处相切,设
,若在区间[1,2]上,不等式
恒成立.则实数m( )
A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果存在非零常数,对于函数
定义域上的任意
,都有
成立,那么称函数为“
函数”.
(Ⅰ)若,
,试判断函数
和
是否是“
函数”?若是,请证明:若不是,主说明理由:
(Ⅱ)求证:若是单调函数,则它是“
函数”;
(Ⅲ)若函数是“
函数”,求实数
满足的条件.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示),由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 3 | 7 |
由表中的数据显示,与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.(参考公式:
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阀值与检验》国家标准,新标准规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升,小于80毫克/百毫克升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车,经过反复试验,喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下:
该函数模型如下:
根据上述条件,回答以下问题:
(1)试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值是多少?
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车?(时间以整小时计算)
(参数数据: ,
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】年东京夏季奥运会将设置
米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳
蛙泳
蝶泳
自由泳的接力顺序,每种泳姿
米且由一名运动员完成, 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有( )种兵布阵的方式.
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
处的切线平行于直线
,求实数a的值;
(Ⅱ)判断函数在区间
上零点的个数;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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