【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
处的切线平行于直线
,求实数a的值;
(Ⅱ)判断函数在区间
上零点的个数;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
时,
在
无零点;
时,
在
恰有一个零点;
时,
在
有两个零点(3)
或
【解析】试题分析:(1)利用导数的几何意义,得,
;(2)函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数,即
与
的交点个数;(3)不等式能成立问题转化为函数的最值问题.
试题解析:
(Ⅰ),函数
在
处的切线平行于直线
.
.
(Ⅱ)令
,
得
记
,
由此可知
在
上递减,在
上递增,
且
时
故时,
在
无零点
时,
在
恰有一个零点
时,
在
有两个零点
(Ⅲ)在上存在一点
,使得
成立等价于函数
在
上的最小值小于零.
,
①当时,即
时,
在
上单调递减,所以
的最小值为
,由
可得
,
;
②当时,即
时,
在
上单调递增,所以
的最小值为
,由
可得
;
③当时,即
时,可得
的最小值为
此时,
不成立.
综上所述:可得所求的范围是
或
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【题目】在平面直角坐标系中,
分别为椭圆
:
的左、右焦点,
为短轴的一个端点,
是椭圆
上的一点,满足
,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是线段
上的一点,过点
且与
轴不垂直的直线
交椭圆
于
两点,若
是以
为顶点的等腰三角形,求点
到直线
距离的取值范围.
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【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系.求y关于x的线性回归方程,并预测M公司2017年4月份(即x=7时)的市场占有率;
(Ⅱ)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如下:
车型 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 总计 |
A | 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
B | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是M公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型?
参考数据:
(参考公式:回归直线方程为,其中
)
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【题目】如果设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,则不等式 <0的解集为( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣2,0)∪(0,2)
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax﹣a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(Ⅰ)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=cos2x的图象,则只要将f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
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【题目】设全集U=R.
(1)解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1>0(a∈R);
(2)记A为(1)中不等式的解集,B为不等式组 的整数解集,若(UA)∩B恰有三个元素,求a的取值范围.
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【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-,0),且过点D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点A(1,),若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.
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