Question

（2012•郑州二模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=

2

AB，B₁C₁

∥

.

1

2

BC，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（I）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C； 
（II）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（II）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，从而得到AB⊥平面AA₁C，再证AB∥A₁B₁，可得A₁B₁⊥平面AA₁C；
（Ⅱ）取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D．证明四边形B₁C₁DB是平行四边形，可得C₁D∥B₁B，进而可证AD∥平面A₁C₁C；同理，B₁D∥平面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得平面ADB ₁∥平面A₁C₁C，从而可得AB₁∥平面A₁C₁C；         
（Ⅲ）建立如图坐标系，设AB=2，确定平面A₁C₁C的一个法向量

m

=(1，-1，1)，又

CB

=(-2，2，0)，根据向量的夹角公式，可得BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为AB=AC，BC=

2

AB，所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC，
又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，
又因为AC、AA₁?平面AA₁C，AC∩AA₁=A
所以AB⊥平面AA₁C；
又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C；       …（4分）

（Ⅱ）证明：取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D．
∵B₁C₁∥BC且B₁C₁=

1

2

BC，D为BC中点
∴B₁C₁∥DB且B₁C₁=DB，
∴四边形B₁C₁DB是平行四边形，可得C₁D∥B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，A₁A∥C₁D且A₁A=C₁D，
所以，A₁ADC₁是平行四边形
所以，A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C；
同理，B₁D∥平面A₁C₁C；
又因为B₁D∩AD=D，所以平面ADB ₁∥平面A₁C₁C；
所以AB₁∥平面A₁C₁C；         …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）AB⊥平面AA₁C，又二面角A₁-AB-C是直二面角，可知，AA₁，AC，AB两两互相垂直，建立如图2示坐标系，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A₁（0，0，2），C（2，0，0），C₁（1，1，2）
所以

A1C1

=(1，1，0)，

A1C

=(2，0，-2)．
设平面A₁C₁C的一个法向量为

m

=(x，y，1)
由

m • A1C1 =0 m • A1C =0

得

x+y=0 2x-2=0

，∴

x=1 y=-1

，∴

m

=(1，-1，1)
又

CB

=(-2，2，0)，所以cos＜

m

，

CB

＞=

m • CB

| m || CB |

=

-2-2

3 ×2 2

=-

6

3

 故BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决空间角问题，掌握线面平行、线面垂直的判定方法，正确运用空间向量解决线面角问题是关键．