Question

设函数f(x)=|x-m|-mx，其中m为常数且m＜0.

(1)解关于x的不等式f(x)＜0；

(2)试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.

Answer 1

思路解析：本题第一问是解绝对值不等式，利用相关的结论去掉绝对值符号，从而转化为不含有绝对值符号的不等式求解，注意就其中的系数的取值情况分类讨论；第二问，去掉绝对值符号，借助于函数的增减性从而将问题解决.

解：（1）由f(x)＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，即

①当m=-1时，

②当-1＜m＜0时，

③当m＜-1时，

    综上所述，当m＜-1时，不等式解集为(-∞,);

    当m=-1时，不等式解集为(-∞,);

    当-1＜m＜0时，不等式解集为().

（2）由f(x)=

    ∵m＜0，

    ∴1-m＞0，f(x)在［m,+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(-∞,m)上是减函数或常数，

    ∴-(1+m)≤0.

    即m≥-1，

    又m＜0，

    ∴-1≤m＜0.

    故f(x)存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f(x)_min=f(m)=-m².