Question

已知函数f（x）=2e^x-x
（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值；
（2）求证：对时，恒有．

Answer 1

解（1）当f'（x）=2e^x-1=0，
解得
当时，f'（x）＜0，f（x）在[-1，m]上单调减，
则f（x）的最小值为f（m）=2e^m-m
当时，上递减，上递增，
则f（x）的最小值为
（2）
g′（x）=2e^x-x-1-ln2=f（x）-1-ln2
由（1）知当时，f（x）的最小值为，
所以当x＞ln2时g′（x）＞0，g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以
所以
分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与定义域的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．
（2）将不等式变形，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，通过判断导函数的符号判断出其单调性，进一步求出其最小值，得证．
点评：求函数在区间上的最值，常利用导函数判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值；证明不等式问题常通过构造新函数，转化为求函数的最值问题．