Question

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

6

（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）问是否存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=

1

2

，直线截圆所得的弦长为

6

，
∴圆O的半径r=

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
则圆O的方程为x²+y²=2；
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即

|ab|

a2+b2

=

2

，
整理得：

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，
则DE²=a²+b²=2（a²+b²）•（

1

a2

+

1

b2

）=2（2+

b2

a2

+

a2

b2

）≥8，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0；
（3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：
设存在斜率为2的直线m满足题意，
设直线m为y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立圆与直线解析式得：

x2+y2=2 y=2x+b

，
消去y得：5x²+4bx+b²-2=0，
依题意得：x₁+x₂=-

4b

5

，x₁x₂=

b2-2

5

，△＞0，
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（2x₁+b）（2x₂+b）=5x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=5×

b2-2

5

+2b×（-

4b

5

）+b²=0，
整理得：b²=5，
解得：b=±

5

，经检验△＞0，符合题意，
则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x±

5

．