Question

【题目】如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，由，进而，由，得. 进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，，得二面角的平面角为，再求解即可

（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.

因为，点是线段的中点，

所以.

又因为，所以，从而平面，

所以，又，不平行，

所以平面.

（2）（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，

由，得，令，得.

同理，设平面的法向量为，

由，得，

令，得.

所以二面角的余弦值为.

（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.

由（1）得，所以平面，所以，

又，所以平面，

所以二面角的平面角为.

又计算得，，，

所以.