Question

【题目】定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.

（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；

（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；

（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.

Answer 1

【答案】（1）存在，1；（2）见解析，极限1；（3）见解析.

【解析】

（1）确定，得到上界的最小值.

（2）用数学归纳法证明，再证明数列单调递增，得到极限存在，最后计算极限.

（3）假设结论不成立，取，，推出矛盾，得到证明.

（1）易知：，

数列存在上界，上界中的最小值为1

（2）非负数列，先证明

当时：成立.

假设当时成立，即

当时：

即也成立

所以恒成立，1是非负数列的一个上界，得证.

数列单调递增

故数列的极限存在

设

（3）证明：假设，当时，恒有.

取满足正项递增数列无上界.

取，当时，

这与题设矛盾

假设不成立

故存在，当时，恒有.