Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆的顶点坐标可直接得，根据△是等腰直角三角形可得，进而由椭圆方程中的关系即可得椭圆方程；

（2）分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况：当斜率存在时，设出直线方程，并联立椭圆后，设，，由韦达定理表示出，根据斜率关系，整理可得与的等量关系，代入直线方程即可确定直线AB过定点.当斜率不存在时，易证也过该定点即可.

（1）由已知可得，

是等腰直角三角形可得，

由，

则所求椭圆方程为.

（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意.

设，，

由得.

则.

由已知，

所以，即.

所以，整理得.

故直线的方程为，即.

所以直线过定点.

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，由已知，

得.此时方程为，显然过点.

综上，直线过定点.