【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
是椭圆的一个顶点,
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,证明:直线
过定点
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)由椭圆的顶点坐标可直接得,根据△
是等腰直角三角形可得
,进而由椭圆方程中
的关系即可得椭圆方程;
(2)分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况:当斜率存在时,设出直线方程,并联立椭圆后,设,
,由韦达定理表示出
,根据斜率关系
,整理可得
与
的等量关系,代入直线方程即可确定直线AB过定点.当斜率不存在时,易证也过该定点即可.
(1)由已知可得,
是等腰直角三角形可得
,
由,
则所求椭圆方程为.
(2)若直线的斜率存在,设
方程为
,依题意
.
设,
,
由得
.
则.
由已知,
所以,即
.
所以,整理得
.
故直线的方程为
,即
.
所以直线过定点
.
若直线的斜率不存在,设
方程为
,
设,
,由已知
,
得.此时
方程为
,显然过点
.
综上,直线过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若直线与曲线
交于
、
两点,设
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆(
)的左、右焦点分别是
,
,点
为
的上顶点,点
在
上,
,且
.
(1)求的方程;
(2)已知过原点的直线与椭圆
交于
,
两点,垂直于
的直线
过
且与椭圆
交于
,
两点,若
,求
.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”, 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份
之间的回归直线方程
;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式: ,
.
参考数据: .
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【题目】若存在实数使得
则称
是区间
的
一内点.
(1)求证:的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)若实数满足:
求证:存在
,使得
是区间
的
一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间
,
是区间的
一内点,
是区间的
一内点,且不等式
和不等式
对于任意
都恒成立,求证:
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【题目】设数列满足
,其中
,且
,
为常数.
(1)若是等差数列,且公差
,求
的值;
(2)若,且存在
,使得
对任意的
都成立,求
的最小值;
(3)若,且数列
不是常数列,如果存在正整数
,使得
对任意的
均成立. 求所有满足条件的数列
中
的最小值.
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【题目】设椭圆,其长轴长是短轴长的
倍,过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆
上横坐标大于
的动点,点
在
轴上,圆
内切于
,试判断点
在何位置时
的长度最小,并证明你的判断.
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【题目】定义:若数列满足,存在实数
,对任意
,都有
,则称数列
有上界,
是数列
的一个上界,已知定理:单调递增有上界的数列收敛(即极限存在).
(1)数列是否存在上界?若存在,试求其所有上界中的最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若非负数列满足
,
(
),求证:1是非负数列
的一个上界,且数列
的极限存在,并求其极限;
(3)若正项递增数列无上界,证明:存在
,当
时,恒有
.
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