Question

【题目】设数列满足，其中，且， 为常数.

（1）若是等差数列，且公差，求的值；

（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；

（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）3

【解析】试题分析：（1）利用等差数列定义将条件转化为公差关系，解方程可得的值；（2）先求的值；即得数列为等比数列，分离变量将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： ,即， 最大值，再根据数列单调性确定最大值，即得的最小值；（3）本题由于求周期最小值，可以从小逐个验证即可： 为常数列，舍去； 时，可推得，舍去； 时，可取一个数列满足条件.

试题解析：解：（1）由题意，可得，

化简得，又，所以.

（2）将代入条件，可得，解得，

所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.

欲存在，使得，即对任意都成立，

则，所以对任意都成立.

令，则，

所以当时， ；当时， ；当时， ．

所以的最大值为，所以的最小值为.

（3）因为数列不是常数列，所以．

①若，则恒成立，从而， ，所以，

所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．

所以不合题意.

②若，取（*），满足恒成立．

由，得．

则条件式变为．

由，知；

由，知；

由，知．

所以，数列（*）适合题意．

所以的最小值为.