Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1），讨论a，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解

（1）因为，其定义域为，

所以.

①当时，令，得；令，得，

此时在上单调递减，在上单调递增.

②当时，令，得或；令，得，

此时在，上单调递减，在上单调递增.

③当时，，此时在上单调递减.

④当时，令，得或；令，得，

此时在，上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知：①当时，.

易证，所以.

因为，，

.

所以恰有两个不同的零点，只需，解得.

②当时，，不符合题意.

③当时，在上单调递减，不符合题意.

④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，，

所以，函数最多只有1个零点，与题意不符.

综上可知，，即的取值范围为.