Question

【题目】已知函数，.

（1）函数是否有极值？若有，求出极值；若没有，说明理由.

（2）若对任意，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，进而可求解函数的极值．

（2）利用函数的导数，求得，把使得对成立，转化为对于恒成立，结合（1）中函数的单调性，分类讨论，即可求解．

（1）由题意，函数的定义域为，且，

当时，，的单调增区间为，没有极值，

当时，令，解得；令，解得，

所以的单调增区间为，单调减区间为，

∴有极大值，没有极小值.

（2）由，

令，则，

当时，，在上是减函数，

所以当时，，即，

∴要使得对成立，等价于对于恒成立，

当时，由（1）知，，所以当成立，必有，

当时，，由（1）有，从而不恒成立，

当时，令，

则，

所以在上是减函数，所以时，，

综上，可得的取值范围是.