Question

【题目】

已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0),的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.

（Ⅰ）写出抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程；

（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：，

（Ⅱ）设直线的方程为：.

联立，消去，得，

显然，设，

则①

②

又，所以③

由①②③消去，得，

故直线的方程为或.

（Ⅲ）设，则中点为，因为两点关于直线对称，

所以，即，解之得，

将其代入抛物线方程，得：

，所以，.

联立，消去，得：

.

由，得

，即，

将，代入上式并化简，得

，所以，即，

因此，椭圆长轴长的最小值为.