Question

【题目】如图，已知两个城市、相距，现计划在两个城市之间合建一个垃圾处理厂，立即处理厂计划在以为直径的半圆弧上选择一点建造（不能选在点、上），其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为（单位是），建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为100，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理厂建在上距离城20公里处时，对城和城的总影响度为.

（1）将表示成的函数；

（2）求当垃圾处理厂到、两城市距离之和最大时的总影响度的值；

（3）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值，并求出此时的值.（计算结果均用精确值表示）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3），此时.

【解析】

（1）先得到，代入数据计算得到答案.

（2）利用均值不等式得到，代入函数计算得到答案.

（3）变形为，利用均值不等式计算得到答案.

(1)由题意知,

其中当 时,,解得

所以表示成的函数为

(2) ，则

当时，等号成立，此时

代入函数得到

（3）

当即时等号成立.