Question

【题目】如果项有穷数列满足，即，那么称有穷数列为“对称数列”.例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”.

(1)设数列是项数为7的“对称数列”,其中成等比数列,且写出数列的每一项；

(2)设数列是项数为的“对称数列”，其中是公差为2的等差数列,且求取得最大值时的取值,并求最大值；

(3)设数列是项数为的对称数列”,且满足记为数列的前项和,若求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）4,2,1，,1,2,4,（2）k＝1010时，S2k﹣1取得最大值2038181；（3）k的最小值为2020．

【解析】

（1）由题意可得：b5＝b3＝1，又b2＝2，可得公比q＝．利用通项公式即可得出．

（2）由题可知c1，c2，…ck是公差为2的等差数列，因此ck＝c1+2（k﹣1）＝2019，解得c1＝2021﹣2k．可得S2k﹣1＝2×﹣ck，利用二次函数求最值即可得出．

（3）由题意可得：c1，c2，…ck是单调递减数列，cn+1﹣cn＝﹣2，且ck＝c1﹣2（k﹣1）＝2021﹣2k，S2k﹣1＝2×﹣ck＝2019，化简求解即可得出．

解：（1）由题意可得：b5＝b3＝1，又b2＝2，∴公比q＝．

∴数列{bn}的每一项分别为：4，2，1，，1，2，4．

（2）∵c1，c2，…ck是公差为2的等差数列，∴ck＝c1+2（k﹣1）＝2019，解得c1＝2021﹣2k，

∴S2k﹣1＝2×﹣ck＝4040k﹣2k2-2019=﹣2（k﹣1010）2+2038181．

∴当k＝1010时，S2k﹣1取得最大值2038181．

（3）由题意可得： c1，c2，…ck是单调递减数列，且cn+1﹣cn＝﹣2，n≤k﹣1时，k取得最小值．

∴ck＝c1﹣2（k﹣1）＝2019﹣2（k﹣1）＝2021﹣2k，

S2k﹣1＝2×﹣ck＝4040k﹣2k2﹣2021+2k＝2019，化为：k2﹣2021k+2020＝0，k≥2．

解得k＝2020．

∴k的最小值为2020．