Question

【题目】已知及．

（1）分别求、的定义域，并求的值；

（2）求的最小值并说明理由；

（3）若，，，是否存在满足下列条件的正数，使得对于任意的正数，、、都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、的定义域均为；；（2），理由详见解析；（3）存在，满足题设条件.

【解析】

（1）利用被开方数大于可求函数的定义域，直接相乘化简即可；

（2）利用基本不等式求出和的最小值，由等号同时成立可得出函数的最小值；

（3）利用构成三角形的条件，两边之和大于第三边转化为恒成立问题，利用（1）（2）的结论可得出实数的取值范围．

（1）由得，则函数和的定义域都为，

；

（2）由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立.

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.

因此，；

（3），

若能构成三角形，只需，则恒成立

由（1）知，，.

，，.

综上，存在，满足题设条件