【题目】定义“正对数”:,现有四个命题:
①若,,则;
②若,,则;
③若,,则;
④若,,则.
则所有真命题的序号为
A.①②③B.①②④C.③④D.②③④
【答案】D
【解析】
对于①,通过举反例说明错误;对于②,由“正对数”的定义分别对、分,;,两种情况进行推理;对于③④,分别从四种情况,即当,时;当,时;当,时;当,时进行推理.
对于①,当,时,满足,,而,
,,命题①错误;
对于②,当,时,有,
从而,,;
当,时,有,从而,,
.
当,时,,命题②正确;
对于③,由“正对数”的定义知,且.
当,时,,而,则;
当,时,有,,而,
,则.
当,时,有,,而,则.
当,时,,则.
当,时,,命题③正确;
对于④,由“正对数”的定义知,当时,有.
当,时,有,
从而,,
;
当,时,有,从而,,;
当,时,有,从而,
,;
当,时,,,
,,
从而,命题④正确.
正确的命题是②③④.
故选:D.
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【题目】设椭圆:(),左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆:,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点
①求的值;
②令,求的面积的最大值.
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【题目】
已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0),的中心和的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线与抛物线分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.
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【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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【题目】已知椭圆: 的上下两个焦点分别为,过点与轴垂直的直线交椭圆于两点, 的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知为坐标原点,直线与轴交于点,与椭圆交于两个不同的点,若,求的取值范围.
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【题目】已知及.
(1)分别求、的定义域,并求的值;
(2)求的最小值并说明理由;
(3)若,,,是否存在满足下列条件的正数,使得对于任意的正数,、、都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数.
(1)当时,对于一切,函数在区间内总存在唯一零点,求的取值范围;
(2)当时,数列的前项和,若是单调递增数列,求的取值范围;
(3)当,时,函数在区间内的零点为,判断数列、、、、的增减性,并说明理由.
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【题目】大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高,数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式,比如,,2,,n是平面直角坐标系上的一系列点,用函数来拟合该组数据,尽可能使得函数图象与点列比较接近.其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差,拟合误差越小越好,定义函数的拟合误差为:.已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表:
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
y | 12 | 4 | 12 |
若用一次函数来拟合上述表格中的数据,求该函数的拟合误差的最小值,并求出此时的函数解析式;
若用二次函数来拟合题干表格中的数据,求;
请比较第问中的和第问中的,用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好?请至少写出三条理由
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