Question

7．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，则使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值时n的值为3．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n=$\frac{1}{n}$．于是$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{n+\frac{10}{n}}$=g（n），考查函数f（x）=$x+\frac{10}{x}$的单调性，x＞0，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，
∴S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴S_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{n×\frac{1}{{n}^{2}}}{1+10×\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+10}$=$\frac{1}{n+\frac{10}{n}}$=g（n），
考查函数f（x）=$x+\frac{10}{x}$的单调性，x＞0，
可知：函数f（x）在$（0，\sqrt{10}）$上单调递减，在$（\sqrt{10}，+∞）$上单调递增．
又g（3）=$\frac{3}{19}$，g（4）=$\frac{2}{13}$，∴g（3）＞g（4）．
∴使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值时n的值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．