Question

15．求最值：
（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用基本不等式求出ab的最大值，
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{4}$，
∴ab≤$\frac{1}{16}$，当且仅当a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$时取等号，
故ab的最大值为$\frac{1}{16}$，
（2）∵x＞0，y＞0，且x+y=1，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$=（$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$）（x+y）=4+9+$\frac{4y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=13+12=25，当且仅当x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{3}{5}$取等号，
故$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值为25

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键掌握一正二定三相等，属于基础题．