Question

5．若函数f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2}}$在（-1，+∞）上的值域为[$-\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用分离常数法求值域即可．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2}}$=$\frac{{x}^{2}+2-3}{{x}^{2}+2}$=$1-\frac{3}{{x}^{2}+2}$
令y=x²+2，开口向上，对称轴是y轴，
则y=x²+2在区间（-1，0）上是单调递减，在（0，+∞）上是单调递增．
当x=0时，有最小值为2，
∴$-\frac{3}{{x}^{2}+2}∈[-\frac{3}{2}，0）$
所以函数f（x）的值域为[$-\frac{1}{2}$，1）．
故答案为[$-\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．