Question

10．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（2）由题意可得在k≤f（x），xx∈[1，4]上恒成立，运用基本不等式，可得右边函数的最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）函数g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+b-a+1，
∵a＞0，开口向上，对称轴x=1，
∴f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=a-2a+1+b=1，f（x）_max=f（3）=9a-6a+1+b=5，
∴a=b=1；
（2）∵f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$-2，当且仅当x=$\sqrt{2}$∈[1，4]时取等号，
又不等式f（x）-k≥0在x∈[1，4]上恒成立，
∴k≤f（x），在x∈[1，4]上恒成立，
∴k≤2$\sqrt{2}$-2，
故k的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$-2]．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．