Question

2．已知抛物线y²=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．
（1）求抛物线方程；
（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；
（3）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y²=6x；
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），求出线段AB的垂直平分线的方程由此能求出直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．
（3）直线AB的方程为y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），代入y²=6x，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC面积的表达式，利用均值定理能求出ABC面积的最大值．

解答 （1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y²=6x．…（2分）
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），
则x₀=2，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$．
线段AB的垂直平分线的方程是y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{3}$（x-2），①
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直线AB的方程为y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），①
即x=$\frac{{y}_{0}}{3}$（y-y₀）+2，②
②代入y²=6x得y²=2y₀（y-y₀）+12，即y²-2y₀y+2y₀²-12=0，③
依题意，y₁，y₂是方程③的两个实根，且y₁≠y₂，
所以△＞0，-2$\sqrt{3}$＜y₀＜2$\sqrt{3}$．
|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$．
定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$．…（8分）
（3）由（2）知S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{9+{{y}_{0}}^{2}+24-2{{y}_{0}}^{2}+9+{{y}_{0}}^{2}}{3}）^{3}}$=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，…（11分）
当且仅当$9+{{y}_{0}}^{2}$=24-2${{y}_{0}}^{2}$，
即y₀=$±\sqrt{5}$
所以，△ABC面积的最大值为$\frac{14\sqrt{7}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．