Question

12．已知集合A={x|（x+3）（x-6）≥0}，B={x|$\frac{x+2}{x-14}$＜0}．
（1）求A∩∁_RB；
（2）已知E={x|2a＜x＜a+1}（a∈R），若E⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A、B，求出∁_RB与A∩∁_RB即可；
（2）由子集的定义，分E=∅和E≠∅时，求出实数a的取值范围即可．

解答 解：（1）因为集合A={x|（x+3）（x-6）≥0}={x|x≤-3或x≥6}，
B={x|$\frac{x+2}{x-14}$＜0}={x|（x+2）（x-14）＜0}={x|-2＜x＜14}； （4分）
∁_RB={x|x≤-2或x≥14}，（6分）
所以A∩∁_RB={x|x≤-3或x≥14}； （8分）
（2）因为E={x|2a＜x＜a+1}（a∈R），且E⊆B，
所以分两种情况：
当E=∅时，2a≥a+1解得a≥1；     （10分）
当E≠∅时，则2a＜a+1且满足$\left\{\begin{array}{l}{2a≥-2}\\{a+1≤14}\end{array}\right.$解得-1≤a＜1； （13分）
综上所述：实数a的取值范围是a≥-1．（14分）

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．