Question

17．已知直线l：kx-y-3k=0与圆M：x²+y²-8x-2y+9=0．
（1）直线过定点A，求A点坐标；
（2）求证：直线l与圆M必相交；
（3）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直线l可化为：y=k（x-3），过定点A（3，0）；
（2）由已知中直线l：kx-y-3k=0，我们可得直线必过点P（3，0），代入圆方程可得点P在圆内，由此即可得到答案．
（3）根据当圆M截直线l所得弦长最小时，l与MP垂直，我们根据M、P点的坐标，求出MP的斜率，进而即可求出满足条件的k的值．

解答 （1）解：直线l可化为：y=2（x-3），所以直线l恒过点A（3，0）；
（2）证明：∵直线l恒过点P（3，0），
代入圆的方程可得x²+y²-8x-2y+9＜9，
∴P（3，0）点在圆内；
则直线l与圆M必相交；
（3）解：圆M截直线l所得弦长最小时，则MP与直线l垂直，
∵M点坐标为（4，1），P（3，0），
∴K_MP=1，
∴k=-1．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中恒过圆内一点时，直线与圆相交，圆M截直线l所得弦长最小时，MP与l垂直都是直线与圆问题中经常考查的知识点．