Question

6．已知函数f（x）为二次函数，且f（x-1）+f（x）=2x²+4．
（ I）求f（x）的解析式；
（ II）当x∈[t，t+2]，t∈R时，求函数f（x）的最小值（用t表示）．

Answer 1

分析 （1）首先设出函数的解析式，利用待定系数法即可；
（2）判断函数f（x）的对称轴与区间[t，t+2]的位置关系，再根据图形特征求出最小值；

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
$\begin{array}{l}∴a{（{x-1}）^2}+b（{x-1}）+c+a{x^2}+bx+c\\=2a{x^2}+（2b-2a）x+a-b+2c=2{x^2}+4\end{array}$
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ 2b-2a=0\\ a-b+2c=4\end{array}\right.$
解得∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\ c=2\end{array}\right.$
∴f（x）=x²+x+2
（2）∵f（x）=x²+x+2的对称轴为$x=-\frac{1}{2}$；
当$t≤-\frac{1}{2}≤t+2$即$-\frac{5}{2}≤t≤-\frac{1}{2}$时 $f{（x）_{min}}=f（{-\frac{1}{2}}）=\frac{7}{4}$；
当$t＞-\frac{1}{2}$时，f（x）=x²+x+2在x∈[t，t+2]上单调递增，$f{（x）_{min}}=f（t）={t^2}+t+2$；
当$t＜-\frac{5}{2}$时，f（x）=x²+x+2在x∈[t，t+2]上单调递减，$f{（x）_{min}}=f（{t+2}）={t^2}+5t+8$；
综上：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t+8，t＜-\frac{5}{2}}\\{\frac{7}{4}，-\frac{5}{2}≤t≤-\frac{1}{2}}\\{{t}^{2}+t+2，t＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

点评 本题主要考察了一元二次函数的基本性质与图形特征，属简单题．