Question

18．已知函数f（x）=x³-9x，函数g（x）=3x²+a．
（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数和切线的斜率和方程，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），求出g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a的值；
（Ⅱ）记F（x）=f（x）-g（x）=x³-9x-3x²-a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³-9x的导数为f′（x）=3x²-9，
f（0）=0，f′（0）=-9，直线l的方程为y=-9x，
设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），
g′（x）=6x，g′（m）=6m=-9，解得m=-$\frac{3}{2}$，
g（m）=-9m，即g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{27}{4}$+a=$\frac{27}{2}$，
解得a=$\frac{27}{4}$；
（Ⅱ）记F（x）=f（x）-g（x）=x³-9x-3x²-a，
F′（x）=3x²-6x-9，
由F′（x）=0，可得x=3或x=-1．
当x＜-1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
当-1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；
当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．
可得x=-1时，F（x）取得极大值，且为5-a，
x=3时，F（x）取得极小值，且为-27-a，
因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→-∞，F（x）→-∞．
则方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：
5-a＞0，-27-a＜0，
解得-27＜a＜5．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查方程的解的情况，注意运用转化思想，考查运算化简能力，属于中档题．