Question

10．已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=-1，数列{b_n}满足b_n-b_n-1=a_n（n=2，3，4，…），且b₁=b₃=1．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：b₂-b₁=a₂=-1，b₁=b₃=1，求得b₂=0，代入求得a₃=1，根据等差数列的性质，求得d=2，a₁=a₂-d，即可求得a₁的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=-3+2（n-1）=2n-5，当n≥2时，b_n-b_n-1=2n-5，采用“累加法”即可求得b_n=n²-4n+4，（n≥2），当n=1时，b₁=1也满足，求得数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）由数列{b_n}满足b_n-b_n-1=a_n，（n≥2，n∈N*），
∴b₂-b₁=a₂=-1，
b₁=b₃=1，
∴b₂=0，
a₃=b₃-b₂=1，
∵数列{a_n}是等差数列，
∴d=a₃-a₂=1-（-1）=2，
∴a₁=a₂-d=-1-2=-3，
a₁的值-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{a_n}是以-3为首项，以2为公差的等差数列，
a_n=-3+2（n-1）=2n-5，
∴当n≥2时，b_n-b_n-1=2n-5，
b_n-1-b_n-2=2（n-2）-5，
…
b₂-b₁=-1，
将上述等式相加整理得：b_n-b₁=$\frac{-1+（2n-5）}{2}$•（n-1）=n²-4n+3，
∴b_n=n²-4n+4，（n≥2），
当n=1时，b₁=1也满足，
∴b_n=n²-4n+4（n∈N*）．

点评 本题考查数列的递推公式，考查等差数列的通项公式的求法，“累加法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．