Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为$\sqrt{3}$，圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=（$\frac{a}{b}$）²
（1）求椭圆及圆C的方程：
（2）过原点O作直线l与圆C交于B两点，若$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=-2，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$c•2c=$\sqrt{3}$，即可求得c，求得a和b，求得椭圆方程和椭圆方程；
（2）当斜率出存在，设直线方程为y=kx，将直线方程代入圆方程，由韦达定理可知x₁+x₂，x₁•x₂代入直线方程，求得y₁+y₂，y₁•y₂，求得向量 $\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$，根据向量的坐标表示，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，求得斜率k，即可求得直线l被圆C截得的弦长．

解答 解：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
由b²=a²-c²=$\frac{1}{3}$c²，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
∵一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•b•2c=$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$c•2c=$\sqrt{3}$，解得：c=$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…（5分）
（2）?当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=0，与圆相切，不符合题意；
?当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$可得（k²+1）x²-（2k+4）x+1=0，
由条件可得△=（2k+4）²-4（k²+1）＞0，即k＞-$\frac{3}{4}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{2k+4}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$，y₁•y₂=k²•x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
而圆心C的坐标为（2，1），则 $\overrightarrow{CA}$=（x₁-2，y₁-1），$\overrightarrow{CB}$=（x₂-2，y₂-1），
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，
即 x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂-（y₁+y₂）+5=-2，
∴$\frac{1}{{k}^{2}+1}$-2×$\frac{2k+4}{{k}^{2}+1}$+$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$-$\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$+5=-2，解得k=0或k=$\frac{4}{3}$，
当k=0时，在圆C中，令y=0可得x=2±$\sqrt{3}$，
故直线l被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$；
当k=$\frac{4}{3}$时，直线l的方程为4x-3y=0，圆心（2，1）到直线l的距离d=$\frac{丨8-3丨}{5}$=1，
故直线L被圆C截得的弦长为2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
综上可知，直线L被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标表示，圆的弦长公式，考查计算能力，属于难题．