Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（x₁≠x₂）是椭圆上不同的两点，且x₁x₂+4y₁y₂=0．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求证：x₁²+x₂²=4．
（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使|

PM

|=|

PN

|？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，结合等边三角形的性质，可得a=2，b=1，代入椭圆方程，可得答案；
（Ⅱ）由x₁x₂+4y₁y₂=0，左右同时平方可得x₁²x₂²=16y₁²y₂²，结合椭圆的方程，可得x₁²x₂²=16y₁²y₂²=16-4（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²，计算可得答案；
（Ⅲ）首先假设存在点P（t，0），根据题意，转化可得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）=y₂²-y₁²，结合椭圆的方程与根与系数的关系，化简可得z2-

8

3

•z+

32t2-18

9

=0，令其△＞0，可得t的取值范围，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题设左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，
可得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由x₁x₂+4y₁y₂=0，得x₁²x₂²=16y₁²y₂²
∵x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4
∴x₁²x₂²=16y₁²y₂²=16-4（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²
故x₁²+x₂²=4
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，
则（x₁-t）²+y₁²=（x₂-t）²+y₂²
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）=y₂²-y₁²
故(x1-x2)(x1+x2-2t)=

(x1-x2)(x1+x2)

4

x₁≠x₂，∴x1+x2=

8

3

t
又x1x2=

(x1+x2)2-( x 2 1 + x 2 2 )

2

=

32t2-18

9

，
∴x₁，x₂是方程z2-

8

3

•z+

32t2-18

9

=0的两个根
由△=

64

9

t2-

4(32t2-18)

9

＞0，得-

3 2

4

＜t＜

3 2

4

，
故存在点P（t，0），使得|

PM

|=|

PN

|，且t的取值范围为(-

3 2

4

，

3 2

4

)

点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意（Ⅲ）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．