Question

已知函数f（x）=2x³-3x²+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则-m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．
解答：解：（1）当x=2时，f（2）=7
故切点坐标为（2，7）
又∵f′（x）=6x²-6x．
∴f′（2）=12
即切线的斜率k=12
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1
当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=0时，函数f（x）取极大值3，
当x=1时，函数f（x）取极小值2，
若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故实数m的取值范围为（-3，-2）
点评：本题考查的知识点是利用导数求曲线上过某点的切线方程，函数的极值，函数的零点，熟练掌握利用导数求切点斜率及极值是解答的关键．