Question

在数列，其中c≠0．
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）若对一切k∈N^*有，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵数列，其中c≠0．
∴a₁=1，
a₂=ca₁+c²•3=（2²-1）c²+c，
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
由此猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
下用数学归纳法证明．
①当n=1时，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=c[（k²-1）c^k+c^k-1]+c^k+1（2k+1）
=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，…（7分）
综上，a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1对任何n∈N^*都成立．…（8分）
（3）由a_2k＞a_2k-1，得[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，…（9分）
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^*，有c＞c_k或c＜c，
其中c_k=，
=．（10分）
∴，
又由＜=4k²+1，
知c_k＜=，…（11分）
因此由c＞c_k对一切k∈N^*成立得c≥1．…（12分）
∵=＜0，
∴单调递增，故≥对一切k∈N^*成立，
因此由c＜对一切k∈N^*成立得c＜=-．…（13分）
从而c的取值范围为（-∞，-）∪[1，+∞）．…（14分）．
分析：（1）由数列，其中c≠0．求得a₁=1，a₂=ca₁+c²•3=3c²+c，a₃=ca₂+c³•5=8c³+c²，由此猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，进而用数学归纳法证明．
（2）把（1）中求得的a_n代入，整理得（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0，设（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1=0的两个根分别表示c_k和c，根据c_k＜=，得c≥1；再根据判断出单调递增知≥对一切k∈N^*成立，求得c＜-．最后综合答案可得．
点评：本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．