Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 极小值为,无极大值;(2) .

【解析】

(1),可求,则,可判断时,单调递减; 时, 单调递增,即可求得在处取得极小值,无极大值.

(2)函数在区间内存在零点等价于在内有解,通过讨论,,,三种情况下求的最值及单调情况即可.

(1)若,则,,则,

当时, 单调递减; 当时, 单调递增,所以在处取得极小值,且极小值为,无极大值.

(2)由题意,设,则.

若,则,故由(1)得在区间内没有零点.

若,则,故在区间内单调递增.又,所以存在,使,故当时, 单调递减; 当时, 单调递增.因为,所以当时, 在区间内存在零点.

若,由(1)得当时, .则

此函数在区间内没有零点.

综上, 实数的取值范围