Question

【题目】已知函数f(x)（a＞0）．

（1）证明：当x∈[1，+∞）时，f(x)≥1．

（2）当0<a≤1时，对于任意的x∈(0，+∞)，f(x)≥m，求整数m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）m的最大整数值为0．

【解析】

（1）求导可知f′(x)＞0，则f(x)在[1，+∞）上是增函数，进而得证；

（2）依题意，当0<x<1时，，令，则问题转化为g(x)≥m在(0，1)上恒成立，利用导数求出函数g(x)的最小值即可．

（1）证明：，

∵a>0，x≥1，

∴f′(x)>0，f(x)在[1，+∞）上是增函数，

∴f(x)≥ f(1)＝1；

（2）当x≥1时，由（1）知f(x)≥1，故m≤1；

当0<x<1时，因为0<a≤1，所以，

令，故问题转化为g(x)≥m在(0,1)上恒成立，，

令h(x)＝x+1+lnx，易知h(x)在(0，1)上单调递增，

∵h(e﹣2)<0，h(1)>0，

∴存在，使得h(x0)＝x0+1+lnx0＝0，

当x∈(0，x0)时，g′(x)< 0，当x∈(x0，1)时，g′(x)>0，

∴g(x)在x＝x0处取得最小值，，

由于x0+1+lnx0＝0，于是，

∵，

∴0<g(x0)<1，

综上所述，m的最大整数值为0．