Question

【题目】设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，且定点坐标为.

【解析】

（1）利用椭圆的定义可求得的值，再由是等腰直角三角形可求得、的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点，求出直线、的斜率之积为，设直线的方程为，可得出直线的方程，进而可求得点、的方程，假设的外接圆过轴上的定点，求出的外接圆圆心的坐标，由结合两点间的距离公式可求得的值，进而可求得定点的坐标.

（1）因为的周长为，由定义可得，，

所以，所以，

又因为是等腰直角三角形，且，所以，

所以椭圆的方程为：；

（2）设，，则，

所以直线与的斜率之积，

设直线的斜率为，则直线的方程为：，

直线的方程：，

由，可得，同理，

假设的外接圆恒过定点，，

由于线段的垂直平分线所在直线的方程为，

线段的垂直平分线所在直线的方程为，则其圆心，

又，所以，解得，

所以的外接圆恒过定点.