Question

【题目】已知数列满足，．求证：当时，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时，有；

（Ⅲ）当时，有．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）通过数学归纳法，即可证明；

（Ⅱ）先通过构造函数，利用其单调性，对递推公式放缩，得到，再利用累乘法即可证明；

（Ⅲ）通过构造函数，由导数证明在上恒成立，从而得，再根据放缩法可得，变形得到，由累乘法即可证出．

（Ⅰ）用数学归纳法进行证明．

①当时，成立；

②假设当时，有成立，则当时，有，又，故，综上，可知当时，均有．

（Ⅱ）设，则恒成立，在上单调递增，所以，即．

因为，即，

当时，由累乘法可得，，

又，即，所以；

因为，即，

当时，由累乘法可得，，

又，即，所以，

故当时，有；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，即，且．

设，恒成立，

在上单调递增，所以，所以，

因为，

即，且，

所以，即，

故有，变形为，

当时，所以，

又，即，所以．