[题目]已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件为“函数是奇函数．(Ⅰ)将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标;(Ⅱ)求函数图象对称中心的坐标;(Ⅲ)已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象的充要条件为“存在实数和,使得函数是偶函数 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．

（Ⅰ）将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标;

（Ⅱ）求函数图象对称中心的坐标;

（Ⅲ）已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和,使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题（不必证明）．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）此命题是假命题

【解析】

试题（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，由于函数y=x3-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．

（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

试题解析：（Ⅰ）平移后图象对应的函数解析式为,整理得,

由于函数是奇函数,

由题设真命题知,函数图象对称中心的坐标是．

（Ⅱ）设的对称中心为,由题设知函数是奇函数．

设,则,即

由不等式的解集关于原点对称,则,得．

此时．

任取,由,得,

所以函数图象对称中心的坐标是．

（Ⅲ）此命题是假命题．

举反例说明:函数的图象关于直线成轴对称图象,

但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数．

修改后的真命题:“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”．

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